Kvadratrøtter

 

Hva mener vi med kvadratroten av et tall?

 

Med ord:

Dersom a er et positivt tall, så er kvadratroten av a det positive tallet som multiplisert med seg selv blir a.

 

Med matematisk språkdrakt:    Hvis a ³ 0, så er ()2 = a.

 

Regneregler:

 

 

 

NB!! Det finnes ikke tilsvarende regler for  og !!

 

Bevis for multiplikasjonsregelen:

 

       Vi har at  ( ×  )2 =  ×  ×  ×  = ()2 × ()2 = a × b  

 

       Þ             ×  =                  [NB:  ()2  er pr. def. lik a × b  ]

      

       q.e.d. (latin: "quod e`rat demonstra`ndum" – oversatt: "hvilket skulle bevises")

 

 

Reglene ovenfor kan vi bruke til å skille ut kvadratiske faktorer.

 

Eksempel:

 

a)    =

 

b)   

 

 

Røtter av n-te grad

Vi tenker oss at vi har en terning med volum 2 og skal regne ut siden x.

Volum = x × x × x = x3 = 2


Vi skal altså finne et tall x som opphøyd i tredje potens blir 2. Vi ser at 1 < x < 2, fordi 13 = 1 < 2 og 23 = 8 > 2. Det kan bevises at x blir et irrasjonalt tall. Dette tallet skriver vi . (Dette er bare en skrivemåte noen har funnet på.)

 

Generelt:                  er et tall som opphøyd i tredje potens gir a  

 

Matematisk språk:           ()3 = a

 

Eksempel:

 

a)         = 2 fordi 23 = 8

 

b)         = -3 fordi (-3)3 = -27

 

Vi ser at vi kan beregne tredjerota av både positive og negative tall.

 

På tilsvarende måte definerer vi fjerderota (), femterota (), sjetterota () osv.

 

Generelt:          Med  (leses: "n-te roten av a") mener vi det tallet som opphøyd i n-te potens er lik a.

 

Potenser med brøkeksponenter

Vi er vant til å regne med potensuttrykk med heltallige eksponenter – slik som 23, 52 og a5. Men hva skal vi forstå med ?

 

Vi forutsetter at a > 0. Vi ønsker at reglene for potensregning fortsatt skal gjelde.

 

En av disse reglene er følgende:            (am)n = am × n

 

Bruker vi denne regelen på  opphøyd i andre potens, får vi:

 

 

 oppfører seg altså akkurat lik kvadratroten av 2. Vi definerer derfor  som .

 

På samme måte definerer vi  som .

 

Generelt:                                              =  når n Î N

 

Dersom n er et partall, må a være positiv. Dersom n er et oddetall, kan a være negativ.

 


Når vi skal forenkle rotuttrykk uten å bruke tilnærmingsverdier, er det hensiktsmessig å gjøre rotstørrelsene om til potenser.

 

Eksempel:

 

 

Hva om eksponenten er en generell brøk t/n?

 

Generelt definerer vi:        når a > 0 og t Î N og n Î N

 

 

Opprettet 26.11.01

Kjersti Melhus

Høgskolen i Stavanger