Oppgave 4.2

a)

Regel for delelighet med 4:

Et tall er delelig med 4 hvis og bare hvis tallet dannet av de to siste sifrene er delelig med 4.

Begrunnelse:

Et hvert tall på tre eller flere siffer, kan vi skrive som en sum av antall hundrere (totalt) i tallet og et tosifret tall (som vil være tallet dannet av de to siste sifrene), f.eks.:

123456 = 123400 + 56 = 1234 × 100 + 56

Vi vet at 4 går opp i 100 og dermed i 1234 × 100.

Da sier Setning 4.1 c. (s. 116 i boka) oss at dersom 4 skal gå opp i 1234 × 100 + 56 så må 4 gå opp i 56, som altså er tallet dannet av de to siste sifrene i det opprinnelige tallet.

(I dette tilfellet er 56 = 4 × 14 ® 4 går opp i 56 og dermed også i 123456.)

Dette er et såkalt generisk bevis (generaliserbart talleksempel). Argumentet vil la seg bruke på et hvilket som helst talleksempel, og jeg kan enkelt overføre tankegangen til et algebraisk bevis.

b)

Regel for delelighet med 25:

Et tall er delelig med 25 hvis og bare hvis tallet dannet av de to siste sifrene er delelig med 25, dvs. når tallet slutter på 00, 25, 50 eller 75.

Begrunnelse:

Begrunnelsen er omtrent identisk med den forrige. Ta et tall på tre eller flere siffer, f.eks. 123456. Ovenfor så vi at dette tallet kan vi skrive slik:

123456 = 123400 + 56 = 1234 × 100 + 56

Vi vet at 25 går opp i 100 og dermed i 1234 × 100.

Da sier Setning 4.1 c. oss at dersom 25 skal gå opp i 1234 × 100 + 56 så må 25 gå opp i 56, som altså er tallet dannet av de to siste sifrene i det opprinnelige tallet.

(I dette tilfellet er 56 ikke delelig med 25, dermed er heller ikke 123456 delelig med 25.)

c)

Regel for delelighet med 7 (ikke pugg denne, jeg kjenner ingen som bruker den i praksis!):

For å avgjøre om 7 går opp i et tall, lager vi en vektet tverrsum av tallet. Sifrene gis følgende vekt, regnet bakfra, det vil si fra enersifferet: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 osv.

Begrunnelse:

Velger å gi et generisk bevis for det 8-sifrete tallet 12345678.

Først skriver jeg tallet på utviklet form, og så finner jeg, for hver tierpotens i den utviklete formen, det tallet i sjugangen som ligger nærmest (enten det er større eller mindre enn tierpotensen det gjelder – akkurat dette tar litt tid men bør være rett fram) og skriver om uttrykket i henhold til det jeg finner:

12345678 = 1×10000000 + 2×1000000 + 3×100000 + 4×10000 + 5×1000 + 6×100 + 7×10 + 8

= 1 × (9 999 997 + 3) + 2 × (999 999 + 1) + 3 × (100 002 – 2) + 4 × (10 003 – 3)

+ 5 × (1001 -1) + 6 × (98 + 2) + 7 × (7 + 3) + 8

Nå løser jeg opp parentesene og samler alle førsteleddene først og andreleddene sist:

= 1 × 9 999 997 + 2 × 999 999 + 3 × 100 002 + 4 × 10 003 + 5 × 1001 + 6 × 98 + 7 × 7

+ 1 × 3 + 2 × 1 + 3 × (-2) + 4 × (-3) + 5 × (-1) + 6 × 2 + 7 × 3 + 8 × 1

Slenger her på en "gange 1" på siste ledd, det spiller jo ingen rolle. Tallene som er markert er nettopp tallene som er nevnt i regelen (begynner bakfra). Dvs. at siste del (andre linje) av uttrykket over er den nevnte vektete tverrsummen.

Første del er garantert delelig med 7 siden alle tallene 9 999 997, 999 999, 100 002, 10 003, 1001, 98 og 7 er delelig med 7 (disse tallene ble jo nettopp valgt ut fordi de var i 7-gangen).

Vi kan skrive uttrykket over slik, om vi ønsker:

= 7 × (1 × 1428571 + 2 × 142857 + 3 × 14286 + 4 × 1429 + 5 × 143 + 6 × 14 + 7)

+ 1 × 3 + 2 × 1 + 3 × (-2) + 4 × (-3) + 5 × (-1) + 6 × 2 + 7 × 3 + 8 × 1

(her har jeg kun faktorisert ut faktoren 7 i første del av summen)

Setning 4.1 c. sier oss at dersom 7 skal gå opp i uttrykket over, så må 7 gå opp i den vektete tverrsummen som danner siste del av uttrykket.

Sifrene 1, 3, 2, -1, -3, -2 vil gjenta seg (ovenfor ser vi at i alle fall 1 og 3 blir de neste tallene). (Husk at vi her går fra høyre mot venstre.)

Regel for delelighet med 11

11 går opp i et tall når 11 går opp i den alternerende tverrsummen til tallet.

Begrunnelse:

Velger å gi et generisk bevis for det 6-sifrete tallet 123456.

Først skriver jeg tallet på utviklet form, og så finner jeg, for hver tierpotens i den utviklete formen, det tallet i 11-gangen som ligger nærmest (enten det er større eller mindre enn tierpotensen det gjelder) og skriver om uttrykket i henhold til det jeg finner:

123456 = 1 × 100 000 + 2 × 10 000 + 3 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 6

= 1 × (100 001 – 1) + 2 × (9 999 + 1) + 3 × (1001 – 1) + 4 × (99 + 1) + 5 × (11 – 1) + 6

= 1 × 100 001 + 2 × 9 999 + 3 × 1001 + 4 × 99 + 5 × 11

+ 1 × (-1) + 2 × 1 + 3 × (-1) + 4 × 1 + 5 × (-1) + 6

= 11 × (1 × 9091 + 2 × 909 + 3 × 91 + 4 × 9 + 5) – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6

delelig med 11! delelig med 11?

Siden første del av uttrykket over er delelig med 11, vil 123456 kun være delelig med 11 dersom siste del er det. Siste del er nettopp den alternerende tverrsummen av sifrene (med + foran enersifferet).

(I dette tilfellet er – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 = 3 som ikke er delelig med 11. 123456 er derfor heller ikke delelig med 11.)

Opprettet 6. desember 2007

Kjersti Melhus, UiS