Oppgave 6.8.64

a) Vinkelsummen s i et sjukantet prisme:

Prismet består av to sjukanter (topp og bunn i prismet) og sju firkanter. De to sjukantene har hver vinkelsummen 5 × 180° = 900°

Begrunnelse: en sjukant kan deles inn i 5 trekanter (som vist under), hver med vinkelsum 180°

De sju firkantene har hvert en vinkelsum på 360° (samme type begrunnelse som over).

Vinkelsummen til prismet blir da: s = 2 × 900° + 7 × 360° = 1800° + 2520° = 4320°

Kontroll av Eulers polyederformel:

Denne sier at H – K + F = 2. Her er antall hjørner H = 2 × 7 = 14, antall kanter K = 3 × 7 = 21 og antall flater F = 2 + 7 = 9.

Vi får da H – K + F = 14 – 21 + 9 = 2. OK

b) Skal kontrollere at Eulers polyederformel gjelder for alle n-kantede prismer ved å uttrykke H, K og F ved n.

I et n-kantet prisme har vi en n-kant i bunn og topp og n firkanter langs sidene. Antall flater er derfor F = 2 + n.

Videre har vi at det er n hjørner rundt bunnen og n rundt toppen, altså H = 2 × n.

Når det gjelder kanter, så har vi n kanter rundt n-kanten i bunnen og det samme i toppen. Videre går det en kant fra hvert av de n hjørnene i

bunnen opp til et hjørne i toppen. Dette gir K = 3 × n.

Nå kan vi sjekke Eulers polyederformel: H – K + F = 2 × n – 3 × n + 2 + n = - n + 2 – n = 2 OK

Opprettet 16. april 2002
Kjersti Melhus, HiS