Fasit på problemoppgavene i kompendiet, s. 1:

Problem nr.1:

1 2 3
Idrett 100m lengde spyd
Bygd Flatbygd Landsbygd Skogsbygd
Navn Kåre Ronald Ståle

Problem nr.2:

Poenget her er å innse at begge ikke trenger å krysse hele ørkenen (det ville selvsagt vært umulig). Den ene må altså snu, og problemet er nå å finne ut når han må snu. Den som krysser hele ørkenen må ha 18 dagsrasjoner med mat. Han bærer med seg 12 fra starten av og trenger dermed 6 i tillegg. Disse 6 må han få av han som snur. Han som snur har dermed bare 6 rasjoner å spise selv og kan toppen være borte i 6 dager. Det blir 3 dager ut i ørkenen og 3 dager tilbake. Prøver vi dette ser vi at det løser problemet. For eksempel:

Den ene snur etter 3 dager. Da gir han tre dagsrasjoner med mat til den andre, graver ned tre og sparer de tre siste til tilbaketuren. Den andre fortsetter (nå med 12 dagsrasjoner) og leverer brevet på den andre siden av ørkenen. På tilbaketuren graver han opp de tre nedgravde rasjonene og spiser dem de tre siste dagene han har igjen.

Problem nr.3:

Det er 5 ektepar. 9 personer blir spurt - bare ulike svar. Vi må kunne anta at alle kjenner sin ektefelle fra før av. Dermed er det nøyaktig 9 mulige svar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Problem nr.4:

La oss si at det var x sauer i flokken. Brødrene får x kroner pr. sau - altså x · x = x² tilsammen. Beløpet de får har et odde antall tiere. Vi leter etter kvadrattall med et odde antall tiere:

x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
x² 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676
Odde ant.
tiere?		 ** ** **

Det ser ut til at vi får et odde antall tiere hvis og bare hvis antall enere i x er 4 eller 6. Vi sjekker for noen flere slike x:

x 34 36 104 116 2024
x² 1156 1296 10816 13456 4196576
Antall tiere 11512910811345419657

Alle disse har et odde antall tiere. (Vi er enda mer overbevist, men vi har strengt tatt ikke bevist det ennå. Det kan imidlertid bevises at det alltid vil være sånn - se nedenfor.) Vi legger merke til at når enerne i x er 4 eller 6, blir antall enere i x² alltid 6. (fordi 4² = 16 og 6² = 36.) Antall kronestykker er med andre ord 6. (Vi vet fortsatt ikke hvor mange tiere det er, men det spør heller ikke oppgaven etter.) Den eldste broren har fått 4 kroner mer enn den yngste. Han må derfor skrive ut en sjekk pålydende 2 kroner.

Matematisk bevis:
Alle heltall kan skrives på formen som a·10 + b, der b er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eller 9 og a er et positivt heltall (f.eks. 12345 = 1234·10 + 5). Antall sauer kan også skrives på denne formen - altså x = a·10 + b. Pengene brødrene får blir da:

(a·10 + b)·(a·10 + b) = a²·100 + 2ab·10 + b² = a²·2·5·10 + 2ab·10 + b² = 2·(5a² + ab)·10 + b²

Vi har her trukket sammen antall tiere i de to første leddene og ser at det blir et like antall (delelig med 2). Det er m.a.o. kun b² som bestemmer om antall tiere blir odde eller ikke. Vi trenger kun sjekke for de 10 ulike b-ene og vil da se at kun b = 4 og b = 6 gir et odde antall tiere (h.h.v. 1 og 3). I begge disse tilfellene gir b² 6 enere (4² = 16 og 6² = 36). Yngstemann får 6 kroner når eldstemann får 10. Sjekken må lyde på 2 kroner.

Tilbake

Siste oppdatering 6. september 2006